Геометрия евклида

Человек и его труд

«Начала» — самый влиятельный учебник из когда-либо созданных. Его продолжают издавать вот уже 2300 лет. Он дошел до настоящего времени благодаря Теону Александрийскому, издавшему «Начала» в своей редакции в IV в. н. э. «Началами» воодушевлялись такие ученые, как Коперник, Галилей, Ньютон и другие великие мыслители, поменявшие наш мир. О самом же Евклиде не известно ничего, не считая редких упоминаний о нем современников и утверждения Прокла (Прокл Диадох — античный философ V в. н. э.) в его «Комментариях к “Началам”» — только эти обрывочные сведения разрешают нам высказать предположение, что человек по имени Евклид действительно написал «Начала».

«Начала» Евклида – труд, переведённый на все языки мира в течение 23 веков, его издавали и копировали чаще всех прочих светских книг. На этой иллюстации – страницы «Начал», датируемые эпохой ренесанса.

Интересные факты из жизни

Несколько любопытных фактов из биографии Евклида:

1. Самый древний известный математический трактат принадлежит Евклиду.
2. До сих пор нет данных о месте рождения и смерти великого ученого. Однако известно место занятий Евклида примерно 2400 лет назад и место его нахождения — Александрия. Интересно, что этот городок сегодня — второй по размерам в Египте после Каира;
3. Евклид смог создать 4 книжки по коническому виду сечений.
4. Фундаментальный труд «Начала» считается настолько важным для науки, что до сих пор его используют в жизни. Интересно, что есть другие публикации с подобным наименованием, но самый популярный — труд Евклида».
5. С самой юности Евклид обучался у именитого ученого Платона, обучавшего Аристотеля в Древней Греции. Сам же Платон обучался у Сократа.
6. По традиции геометрия сегодня носит название этого ученого.
7. Есть легенда, что когда один раз ученик величайшего математика спросил у него, как геометрия может помочь ему в жизни, то Евклид дал ему денег и прогнал с занятий.
8. Евклид до сих пор считается автором многочисленных книг, чье авторство не было подтверждено. Это разные труды, к примеру, публикации по музыке, философии и медицине. Официально известно, что великий ученый сделал открытие в оптических и астрономических областях.
9. Сегодня признают римановскую, лобачевскую и евклидову геометрию. Последняя — самая традиционная и часто используемая.
10. В первый раз евклидовский труд перевели в конце восемнадцатого века. При этом «Начала» впервые были переведены на армянский язык в одиннадцатом веке.
11. Любимая фраза: «Нет царского пути в геометрии».

В целом, Евклид является отцом геометрии, и он не случайно так называется. Он первым сделал сложное понятным и дал толчок развитию естественных наук. Его книги неоценимы по значимости и применяются сегодня в области математических и геометрических наук во всем мире.

Неевклидова геометрия

И только через 2 с лишним тысячи лет российский математик Лобачевский усомнился в безраздельной справедливости геометрии Евклида. Он вывел «свою собственную» геометрию, которая базировалась не на плоскости, а на псевдосфере. Интересно, что все Аксиомы, выведенные Евклидом, сохранялись. Кроме одной – о параллельных прямых.

Кроме Лобачевского, «свою» геометрию вывел и немецкий математик Риман. В настоящее время три геометрии странным образом сосуществуют в мире – Евклидова, Римана и Лобачевского.

Так ли это было, как описывают некоторые истории о Евклиде, а, может, и вовсе ничего подобного не было – не столь уж важно. Автор «Математических начал» навечно вписал свое имя в анналы науки, там он и останется – наряду с такими гениями, как Ньютон, Галилей, Сократ или Пифагор

Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Примеры

Евклидова норма действительного вектора равна
vзнак равно(3,-2,Шестой)∈Р.3{\ Displaystyle v = (3, -2,6) \ in \ mathbb {R} ^ {3}}

‖v‖2знак равно32+(-2)2+Шестой2знак равно9+4-й+36знак равно49знак равно7-е{\ Displaystyle \ | v \ | _ {2} = {\ sqrt {3 ^ {2} + (- 2) ^ {2} + 6 ^ {2}}} = {\ sqrt {9 + 4 + 36} } = {\ sqrt {49}} = 7}.

Евклидова норма комплексного вектора равна
vзнак равно(3,я,5-я)∈С.3{\ Displaystyle v = (3, я, 5-я) \ in \ mathbb {C} ^ {3}}

‖v‖2знак равно|3|2+|я|2+|5-я|2знак равно9+1+26-езнак равно36знак равноШестой{\ displaystyle \ | v \ | _ {2} = {\ sqrt {| 3 | ^ {2} + | i | ^ {2} + | 5-i | ^ {2}}} = {\ sqrt {9 + 1 + 26}} = {\ sqrt {36}} = 6}.

Кинематическая геометрия

Гиперболическая геометрия нашла применение в кинематике с помощью физической космологии, введенной Германом Минковским в 1908 году. Минковский ввел такие термины, как мировая линия и собственное время, в математическую физику . Он понял, что подмногообразие событий в один момент собственного времени в будущем можно рассматривать как гиперболическое пространство трех измерений. Уже в 1890-х годах Александр Макфарлейн рисовал это подмногообразие с помощью своей « и гиперболических кватернионов , хотя Макфарлейн не использовал космологический язык, как Минковский в 1908 году. Соответствующая структура теперь называется гиперболоидной моделью гиперболической геометрии.

Неевклидовы плоские алгебры поддерживают кинематическую геометрию на плоскости. Например, разделенное комплексное число z = e a j может представлять пространственно-временное событие в один момент в будущем в системе отсчета с быстротой a . Кроме того, умножение на z равносильно преобразованию лоренцевского буста кадра с нулевой скоростью в кадр с быстротой а .

Кинематическое исследование использует двойственные числа для представления классического описания движения в абсолютном времени и пространстве : уравнения эквивалентны отображению сдвига в линейной алгебре:
zзнак равноИкс+уϵ,ϵ2знак равно,{\ displaystyle z = x + y \ epsilon, \ quad \ epsilon ^ {2} = 0,}Икс′знак равноИкс+vт,т′знак равнот{\ displaystyle x ^ {\ prime} = x + vt, \ quad t ^ {\ prime} = t}

(Икс′т′)знак равно(1v1)(Икст).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ‘\\ t’ \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \ end {pmatrix}}.}

С двойными числами отображение т′+Икс′ϵзнак равно(1+vϵ)(т+Иксϵ)знак равнот+(Икс+vт)ϵ.{\ displaystyle t ^ {\ prime} + x ^ {\ prime} \ epsilon = (1 + v \ epsilon) (t + x \ epsilon) = t + (x + vt) \ epsilon.}

Другой взгляд на специальную теорию относительности как на неевклидову геометрию был предложен Э.Б. Уилсоном и Гилбертом Льюисом в Трудах Американской академии искусств и наук в 1912 году. Они переработали аналитическую геометрию, заложенную в алгебре расщепленных комплексных чисел, в синтетическую геометрию предпосылок. и отчисления.

Связанные области

Если отказаться от 3-го и 4-го постулатов Евклида (т.е. терминов «круг» и «прямой угол») или, для более точного определения, ограничиться аксиомами Гильберта о связи и параллелях , получится аффинная геометрия . Впервые он был разработан Леонардом Эйлером . Термины «расстояние» и «угловая мера» здесь не используются, но есть отношения расстояния и параллелизм.

Если аксиому параллелей заменить условием, что две прямые, расположенные в одной плоскости, всегда должны иметь пересечение, аффинная геометрия становится проективной геометрией .

Если опустить аксиомы расположения и непрерывности, аффинная и проективная геометрии также могут состоять из конечного числа точек.

В синтетической геометрии понятие евклидовой плоскости обобщается таким образом, что именно те плоскости, чьи аффинные координаты лежат в евклидовом теле, являются евклидовыми плоскостями.

Евклидова геометрия

Евклидова геометрия — это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, которая была впервые изложена в третьем веке до нашей эры великим древнегреческим математиком Евклидом в грандиозном научном труде «Начала».Система аксиом Евклида базируется на основных геометрические понятиях таких, как точка, прямая, плоскость, движение, а также на следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими».В «Началах» Евклид представил следующую аксиоматику:

• От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

• Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

• Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

• Все прямые углы равны между собой.

• Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Тщательное изучение аксиоматики Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. В 1899 году Д. Гилберт предложил первую строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Впоследствии еще не раз ученые предпринимали попытки усовершенствовать аксиоматику евклидовой геометрии. Кроме аксиоматики Гилберта, известными считаются: аксиоматики Тарского и аксиоматики Биргофа, которая состоит всего лишь из 4 аксиом.В современной трактовке система аксиом Евклида может быть разделена на пять групп:Аксиомы сочетания.

• Во-первых, через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну.

• Во-вторых, на каждой прямой лежат по крайней мере две точки. При этом существуют хотя бы три точки, которые не лежат на одной прямой.

• В-третьих, через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.

• В-четвертых, на каждой плоскости есть по крайней мере три точки, а также существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

• В-пятых, если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, значит и сама прямая лежит на этой плоскости.

• В-шестых, если две плоскости имеют общую точку, то, следовательно они имеют и общую прямую.

Кстати, Омар Хайям в девятом веке заметил, что Евклид в своих сочинениях доказал многое из того, что не нуждалось в доказательстве. Так появились аксиомы.

Аксиомы порядка.

• Во-первых, если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой.

• Во-вторых, для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С.

• В-третьих, из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими.

• В-четвертых, если прямая пересекает одну сторону треугольника, значит она пересекает при этом и другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; аналогично определяются стороны треугольника).

Аксиомы движения.

• Во-первых, движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям.

• Во-вторых, два последовательных движения вновь дают движение, и для всякого движения есть обратное.

• В-третьих, если даны точки А, A’ и полуплоскости A, A‘, ограниченные продолженными полупрямыми а, а’, которые исходят из точек А, A’, то существует единственное движение, переводящее А, а, A в A’, a’, A’ (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).

Аксиомы непрерывности.

• Во-первых, как гласит аксиома Архимеда, всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая на первом его достаточное количество раз (откладывание отрезка осуществляется движением).

• Во-вторых, согласно аксиоме Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.

Аксиома параллельности Евклида: через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а. Евклидова геометрия стала результатом систематизации и обобщения наглядных представлений человека об окружающем мире.

Главная | Геометрия и искусство | Плоские фигуры | Пространственные фигуры | Движения и преобразования | Орнаменты и стили | Доклад | Разное | Галерея | Главная Карта Сайта

Постулаты и аксиомы из трудов “Начала” Евклида

Многие теоремы, приведенные в «Началах», были сформулированы не Евклидом. Вклад Евклида заключался в том, дабы привести их к единому стандарту изложения и единому комплекту первоначальных предположений либо аксиом. В их число входят пять известных универсальных аксиом Евклида.

Геометрия

Универсальные аксиомы Евклида

1) величины, равные одному и тому же, равны и между собой;

2) если к равным величинам прибавляются равные, то и целые величины будут равны;

3) если от равных величин отнимаются равные, то остатки будут равны;

4) совмещающиеся (совпадающие) друг с другом величины равны между собой;

5) целое больше части.

Пять постулатов Евклида звучат более «геометрически»:

1) от всякой точки до всякой точки возможно провести участок прямой;

2) участок прямой возможно непрерывно продолжать по прямой;

3) из любой начальной точки участка прямой всяким радиусом может быть описана окружность, наряду с этим эта точка станет ее центром;

4) все прямые углы конгруэнтны (т. е. смогут быть преобразованы друг в друга);

5) если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов (равных 90°), то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.

V постулат знаменит как постулат о параллельности. Позднее было доказано, что он недоказуем, что привело к появлению новых форм геометрии, основанных на другом комплекте аксиом.

биография

Нет прямого источника о жизни Евклида: у нас нет ни письма, ни автобиографических указаний (даже в виде предисловия к произведению), ни официальных документов, ни даже намеков кого-либо из его современников. Как резюмирует историк математики Питер Шрайбер, «о жизни Евклида не известно ни одного достоверного факта».

Написание старейшего известно о жизни появляется Евклид в сводке по истории геометрии , написанного V — го  века нашей эры философа неоплатоник Прокл , комментатор первой книги элементов . Сам Прокл не дает никаких указаний. Он только говорит, что «объединив свои Элементы , скоординировал многие из них и вызвал в неопровержимых демонстрациях те, которые его предшественники демонстрировали в небрежной манере. Этот человек также жил при первом Птолемее, потому что Архимед упоминает Евклида. Таким образом, Евклид старше учеников Платона , но старше Архимеда и Эратосфена  »

Принимая во внимание временную шкалу, данную Проклом, Евклид, Платон и Архимед, жившие между современниками Птолемея I er , следовательно, жили около 300 г. до н

Ж.-К.

Ни один документ не противоречит этим нескольким предложениям или не подтверждает их. Прямое упоминание Евклида в произведениях Архимеда происходит из отрывка, который считается сомнительным. Архимед также обратиться к некоторым результатам Стихии и ostrakon , найденный на острове Элефантина и датированных III — го  века до н.э., обсуждает цифры изученные в тринадцатой книге элементов , а десятиугольника и икосаэдра , но не воспроизводят евклидовы произнесение точно; поэтому они могли происходить из источников до Евклида. Ориентировочная дата 300 г. до н.э. Однако считается, что AD совместим с анализом содержания евклидовой работы и принят историками математики.

Кроме того, намек математиком IV — го  века нашей эры, Папп Александрийский , свидетельствует о том , что ученики Евклида преподавал в Александрии . На этом основании некоторые авторы связывают Евклида с Мусионом Александрийским , но, опять же, он не упоминается ни в одном соответствующем официальном документе. Квалификатор, часто связанный с Евклидом в древности, — это просто stoichéiôtês (на древнегреческом  : στοιχειωτής ), то есть «автор Элементов».

Портрет Евклида работы Жюста де Гана, написанный около 1474 года; геодезист ошибочно отождествлен с Евклидом из Мегары из- за распространенной в то время путаницы между последним и автором .

Про Евклида ходят несколько анекдотов, но, поскольку они появляются и для других математиков, они не считаются реалистичными: это, таким образом, один из знаменитых анекдотов Прокла, согласно которому Евклид ответил бы Птолемею — который хотел более легкого пути, чем элементы  — что там не было ни царская дорога в геометрии; вариант того же анекдота на самом деле приписывают Менехму и Александру Великому . Точно так же, начиная с поздней античности , различные подробности были добавлены к рассказам о жизни Евклида без новых источников и часто противоречивым образом. Таким образом, некоторые авторы рождают Евклида в Тире , другие — в Геле , ему приписывают различные генеалогии , конкретных мастеров, разные даты рождения и смерти, независимо от того, соблюдают ли правила жанра или одобряют определенные интерпретации. Таким образом, в средние века и в начале Возрождения математика Евклида часто путали с современным философом Платона Евклидом Мегарским .

Столкнувшись с этими противоречиями и отсутствием надежных источников, историк математики Жан Итар даже предположил в 1961 году, что Евклид как личность, возможно, не существовал, и что это имя могло обозначать «собирательное название« математической школы », либо настоящий мастер в окружении учеников или даже чисто вымышленное имя. Но эта гипотеза, похоже, не принимается.

Один из самых старых дошедших до нас фрагментов Элементов Евклида, обнаруженный в Оксиринхе , датируется периодом между 75 и 125 годами до нашей эры. Мы не более чем на один процент текста Евклида в более ранних источниках в конце IX — го  века.

Модели неевклидовой геометрии

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий в двух измерениях

На сфере сумма углов треугольника не равна 180 °. Поверхность сферы не является евклидовым пространством, но локально законы евклидовой геометрии являются хорошими приближениями. В маленьком треугольнике на поверхности земли сумма углов очень близка к 180 °.

Двумерная евклидова геометрия моделируется нашим понятием «плоская плоскость ».

Эллиптическая геометрия

Простейшей моделью эллиптической геометрии является сфера, где линии представляют собой « большие круги » (например, экватор или меридианы на глобусе ), а точки, противоположные друг другу (называемые точками противоположностей ), идентифицируются (считаются одинаковыми). Это также одна из стандартных моделей реальной проективной плоскости . Разница в том, что в качестве модели эллиптической геометрии вводится метрика, позволяющая измерять длины и углы, а в качестве модели проективной плоскости такой метрики нет.

В эллиптической модели для любой данной прямой l и точки A , которая не находится на l , все прямые, проходящие через A, будут пересекать l .

Гиперболическая геометрия

Даже после работ Лобачевского, Гаусса и Бойяи оставался вопрос: «Существует ли такая модель для гиперболической геометрии ?». На модель гиперболической геометрии ответил Эудженио Бельтрами в 1868 году, который впервые показал, что поверхность, называемая псевдосферой, имеет соответствующую кривизну для моделирования части гиперболического пространства, а во второй статье того же года определил модель Клейна , которая моделирует целостность гиперболического пространства и использовал это, чтобы показать, что евклидова геометрия и гиперболическая геометрия были равносогласованными, так что гиперболическая геометрия была логически непротиворечивой тогда и только тогда, когда была евклидова геометрия. (Обратное утверждение следует из модели ориосферы евклидовой геометрии.)

В гиперболической модели внутри двумерной плоскости для любой данной прямой l и точки A , которая не находится на l , существует бесконечно много прямых, проходящих через A, которые не пересекаются с l .

В этих моделях концепции неевклидовой геометрии представлены евклидовыми объектами в евклидовой обстановке. Это приводит к искажению восприятия, при котором прямые линии неевклидовой геометрии представлены евклидовыми кривыми, которые визуально изгибаются. Этот «изгиб» не является свойством неевклидовых линий, а лишь искусственным способом их представления.

Трехмерная неевклидова геометрия

В трех измерениях есть восемь геометрических моделей. Как и в двумерном случае, существуют евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрии; смешанная геометрия, частично евклидова, частично гиперболическая или сферическая; витые варианты смешанной геометрии; и одна необычная геометрия, которая полностью анизотропна (т.е. каждое направление ведет себя по-разному).

Геометрия и компьютерная графика

Компьютерная анимация (CGI) преображает сложные природные формы (такие, как лицо) в комплект несложных форм. Так, сложный объект создаётся за счет комбинации несложных объектов и может изменяться в следствии трансформации их геометрии. В базе данной идеи — изучения математиков, например, французско-американского ученого Бенуа Мандельброта, который в 1974 г. продемонстрировал, что естественные формы подчиняются правилам фрактальной размерности (неэвклидова геометрия), а в рамках классической евклидовой геометрии смогут быть измерены только примерно.

Компьютерная графика на основе фракталов Мандельброта

Научная деятельность

Евклида обоснованно считают «отцом геометрии». Именно он заложил основы этой области знаний и возвёл её на должный уровень, открыв обществу законы одного самых сложных разделов математики в то время. После переезда в Александрию, Евклид, как и многие учёные того времени, благоразумно проводит большую часть времени в Александрийской библиотеке. Этот музей, посвящённый литературе, искусству и наукам, был основан ещё Птолемеем. Здесь Евклид начинает объединять геометрические принципы, арифметические теории и иррациональные числа в единую науку геометрию. Он продолжает доказывать свои теоремы и сводит их в колоссальный труд «Начала». За всё время своей малоисследованной научной деятельности, учёный закончил 13 изданий «Начал», охватывающих широкий спектр вопросов, начиная с аксиом и утверждений и заканчивая стереометрией и теорией алгоритмов. Наряду с выдвижением различных теорий, он начинает разрабатывать методику доказательства и логическое обоснование этих идей, которые докажут предложенные Евклидом утверждения.

Его труд содержит более 467 утверждений касательно планиметрии и стереометрии, а также гипотез и тезисов, выдвигающих и доказывающих его теории относительно геометрических представлений. Доподлинно известно, что в качестве одного из примеров в своих «Началах» Евклид использовал теорему Пифагора, устанавливающую соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Евклид утверждал, что «теорема верна для всех случаев прямоугольных треугольников». Известно, что за время существования «Начал», вплоть до XX века, было продано больше экземпляров этой книги, чем Библии. «Начала», изданные и переизданные бесчисленное количество раз, в своей работе использовали разные математики и авторы научных трудов. Евклидова геометрия не знала границ, и учёный продолжал доказывать всё новые теоремы в совершенно разных областях, как, например, в области «простых чисел», а также в области основ арифметических знаний. Цепочкой логических рассуждений Евклид стремился открыть тайные знания человечеству. Система, которую учёный продолжал разрабатывать в своих «Началах», станет единственной геометрией, которую будет знать мир вплоть до XIX века. Однако современные математики открыли новые теоремы и гипотезы геометрии, и разделили предмет на «евклидову геометрию» и «неевклидову геометрию».

Сам учёный называл это «обобщённым подходом», основанным не на методе проб и ошибок, а на представлении неоспоримых фактов теорий. Во времена, когда доступ к знаниям был ограничен, Евклид принимался за изучение вопросов совершенно разных областей, в том числе и «арифметики и чисел». Он заключил, что обнаружение «самого большого простого числа» физически невозможно. Это утверждение он обосновал тем, что, если к самому большому известному простому числу добавить единицу, это неизбежно приведёт к образованию нового простого числа. Этот классический пример является доказательством ясности и точности мысли учёного, несмотря на его почтенный возраст и времена, в которые он жил.

Основные сведения

Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. К элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.

Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.